动力学

与运动学研究轨迹、速度不同，动力学是研究力和运动关系的学问，主要的对象是力和加速度。在高中我们都学过的牛顿第二定律就是典型的动力学定律，但是当运动复杂之后，这种方法就比较麻烦且容易出错了。所以，在机器人这种典型的多刚体运动领域，常用分析力学的方法，核心自然就是拉格朗日方程了。 这篇文章算是一个分析力学入门读物吧，讲一讲里面的约束，虚位移和虚功。 约束的字面意思大家都懂的，在分析力学里是指对质点位置、速度的限制，用数学的话说就是 [ f_s(r_1,r_2,…,v_1,v_2,…,t)=0 ] 其中r表示质点的位置，v表示质点的速度。这里用等于号表示双面约束，其实只考虑这种情况就够了。 更特别的，如果这个函数里不含v了，那就是说只限制了位置，这种情况称为几何约束。对于几何约束和积分后可以写成几何约束的其他约束（微分约束），称他们为完整约束。 再来说虚位移，虚位移就是在某一瞬时，在不破坏约束的情况下质点的任意可能位移。比如一个平面上放着一个木块，假设他们始终接触（这就是约束），那么在特定时刻木块是可以沿着板做任何运动的，然而真实的运动肯定只能是众多虚位移中的一个。质点$P_s$的虚位移通常用$\delta r_s$表示。 力在虚位移上做的功就叫做虚功。如果作用在质点$P_s$上的约束反力$N_s$在任意虚位移上做的虚功之和为0，即 [ \sum_{s=1}^{n}N_s\cdot \delta r_s=0 ] 则称次约束为理想约束。我们其实基本上只考虑理想双面完整约束。 最后讲两个重要的原理。第一个是虚位移原理，讲的是手主动力$F_s$作用的质点的可能平衡位置是真实平衡位置的判据，其充要条件是 [ \sum_{s=1}^{n}F_s\cdot \delta r_s=0 ] 即主动力在任一组虚位移上所做虚功为0。 另一个是达朗贝尔原理，说的是质点系的每一个质点所受主动力、约束反力、惯性力构成平衡力系。即 [ F_s+N_s-m_s\ddot{r_s}=0 ]